Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）由的周長(zhǎng)為8，可知,結(jié)合離心率為，可求出，，，從而可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得到關(guān)于的一元二次方程，由三角形的面積公式可知，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得到的表達(dá)式，求出最大值即可。

（1）由題意知, ,則,

由橢圓離心率,則,,

則橢圓的方程.

（2）由題意知直線的斜率不為0，

設(shè)直線的方程為，，，

則 ，

所以，

令，則，所以，

而在上單調(diào)遞增，則的最小值為4，

所以，

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大值為3.