Question

已知P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，若

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，則△F₁PF₂的面積為（　�。�

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，再根據(jù)條件求出∠F₁PF₂=60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je 利用三角形面積公式求解．

解答：解：由題意可得：a=5，b=3，
所以c=4，即F₁F₂=2c=8．
設F₁P=m，F(xiàn)₂P=n，所以由橢圓的定義可得：m+n=10…①．
因為

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，所以由數(shù)量積的公式可得：cos＜

PF1

，

PF2

＞=

1

2

，
所以＜

PF1

，

PF2

＞=

π

3

．
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以由余弦定理可得：64=m²+n²-2mncos60°…②，
由①②可得：mn=12，所以S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=3

3

．
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的定義，熟練利用數(shù)量積求向量的夾角以及利用解三角形的知識求解面積問題．