Question

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程先利用兩角和的正弦公式展開(kāi)，再等式兩邊同時(shí)乘以，再代入代入化簡(jiǎn)可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）解法一：將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的二次方程，列出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式得可求出；

解法二：計(jì)算圓心到直線的距離，并求出圓的半徑，利用勾股定理以及垂徑定理得出可計(jì)算出；

解法三：將直線的方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可計(jì)算出（其中為直線的斜率）．

（1）由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)得，

即直線普通方程為.

對(duì)于曲線,由,即,

,

，

曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）解法一：將代入的直角坐標(biāo)方程，

整理得,

，

.

（2）解法二：曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

曲線是圓心為，半徑的圓.

設(shè)圓心到直線:的距離為,則.

則.

(2) 解法三：聯(lián)立,消去整理得,

解得,.

將,分別代入得,

所以,直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)是.

所以,.