Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足（2b﹣a）cosC=ccosA．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）設(shè)y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B），求y的最大值并判斷當(dāng)y取得最大值時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】解：（I）∵（2b﹣a）cosC=ccosA，

由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

化為：2sinBcosC=sin（C+A）=sinB，

∵sinB≠0，∴cosC= ，

∵C∈（0，π），∴C= ．

（II）y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B）= （1﹣cosA）+2sin =sinA+ cosA﹣2 =2 ﹣2 ，

∵A∈ ，∴ ∈ ，

∴當(dāng)A+ = ，即A= 時(shí)，y確定最大值2﹣2 ，此時(shí)B= ，

因此△ABC為直角三角形

【解析】（I）由（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用和差關(guān)系化簡(jiǎn)可得：cosC= ，即可得出C．

（II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2 ﹣2 ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其最值可得A，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得出．

【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．