Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試判斷的正負(fù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由解得.由題可得在恒成立，分別求得兩邊函數(shù)的值域，運(yùn)用恒成立思想，即可得到k的范圍

（2）由題意知，函數(shù)， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，易得函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞減.只需證明即可.

試題解析： （1）由題得， ，

∵函數(shù)在處的切線方程為，

∴，∴.

依題意， 對(duì)任意的都成立，

∴，即對(duì)任意的都成立，從而.

又不等式整理可得， .

令，

∴ .

令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

∴.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）結(jié)論是.

理由如下：由題意知，函數(shù)，

∴，

易得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

∴只需證明即可.

∵是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，

∴相減，得.

不妨令，

則，∴，

∴， ，

即證，

即證.

∵ ，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.

∴.

綜上所述，函數(shù)總滿足.