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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex ax2(a∈R).
          (1)當(dāng)a≤1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y=f′(x)的圖象恒在y=ax3+x﹣(a﹣1)x的圖象上方,求a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解: f'(x)=xex﹣ax=x(ex﹣a)

          當(dāng)a≤0時(shí),ex﹣a>0,∴x∈(﹣∞,0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

          當(dāng)0<a≤1時(shí),令f'(x)=0得x=0或x=lna.

          (i) 當(dāng)0<a<1時(shí),lna<0,故:x∈(﹣∞,lna)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,x∈(lna,0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

          (ii) 當(dāng)a=1時(shí),lna=0,f'(x)=xex﹣ax=x(ex﹣1)≥0恒成立,f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,無減區(qū)間;

          綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(﹣∞,0);

          當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,lna)和(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(lna,0);

          當(dāng)a=1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,+∞),無減區(qū)間.


          (2)解:由(1)知f'(x)=xex﹣ax

          當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y=f'(x)的圖象恒在y=ax3+x2﹣(a﹣1)x的圖象上方;

          即xex﹣ax>ax3+x2﹣(a﹣1)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;

          即 ex﹣ax2﹣x﹣1>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;

          記 g(x)=ex﹣ax2﹣x﹣1(x>0),

          ∴g'(x)=ex﹣2ax﹣1=h(x);∴h'(x)=ex﹣2a;

          (i) 當(dāng) 時(shí),h'(x)=ex﹣2a>0恒成立,g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

          ∴g'(x)>g'(0)=0;

          ∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

          ∴g(x)>g(0)=0,符合題意;

          (ii) 當(dāng) 時(shí),令h'(x)=0得x=ln(2a);

          ∴x∈(0,ln(2a))時(shí),h'(x)<0,

          ∴g'(x)在(0,ln(2a))上單調(diào)遞減;

          ∴x∈(0,ln(2a))時(shí),g'(x)<g'(0)=0;

          ∴g(x)在(0,ln(2a))上單調(diào)遞減,

          ∴x∈(0,ln(2a))時(shí),g(x)<g(0)=0,不符合題意;

          綜上可得a的取值范圍是


          【解析】(1)首先求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),分類討論a的大小來判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用轉(zhuǎn)化思想:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y=f'(x)的圖象恒在y=ax3+x2﹣(a﹣1)x的圖象上方,即xex﹣ax>ax3+x2﹣(a﹣1)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;即 ex﹣ax2﹣x﹣1>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立;
          【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求點(diǎn)R的直角坐標(biāo),化曲線C的參數(shù)方程為普通方程;
          (2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值,及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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          (2)求直線BE與平面PAC所成角的余弦值.

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          7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
          9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
          (Ⅰ)通過計(jì)算估計(jì),甲、乙二人的射擊成績(jī)誰更穩(wěn);
          (Ⅱ)若規(guī)定命中8環(huán)及以上環(huán)數(shù)為優(yōu)秀,以頻率作為概率,請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì),求甲在第11至
          第13次射擊中獲得獲得優(yōu)秀的次數(shù)ξ的分布列和期望.

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