Question

【題目】如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長(zhǎng);

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

Answer 1

【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m

【解析】試題分析：本題是應(yīng)用題，我們可用解析法來解決，為此以為原點(diǎn)，以向東，向北為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.（1）點(diǎn)坐標(biāo)炎， ，因此要求的長(zhǎng)，就要求得點(diǎn)坐標(biāo)，已知說明直線斜率為，這樣直線方程可立即寫出，又，故斜率也能得出，這樣方程已知，兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)隨之而得；（2）實(shí)質(zhì)就是圓半徑最大，即線段上哪個(gè)點(diǎn)到直線的距離最大，為此設(shè)，由，圓半徑是圓心到直線的距離，而求它的最大值，要考慮條件古橋兩端和到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80，列出不等式組，可求得的范圍，進(jìn)而求得最大值．當(dāng)然本題如果用解三角形的知識(shí)也可以解決．

試題解析：

（1）如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則， ，由題意，直線方程為．又，故直線方程為，由，解得，即，所以 ；

（2）設(shè)，即 ，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此 ，∴∴，所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值，此時(shí)圓面積最大．