Question

【題目】已知圓M過點A（1，3），B（4，2），且圓心在直線y=x﹣3上．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）若過點（﹣4，1）的直線l與圓M相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓M過點A（1，3），B（4，2），

∴線段AB的中點坐標為（ ， ），直線AB的斜率kAB= =﹣ ，

∴AB的中垂線方程為y﹣ =3（x﹣ ），即y=3x﹣5，

∵圓心M在直線y=x﹣3上．∴由 ，得M（1，﹣2），

∴r=|MA|= =5，

∴圓M的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=25．

（Ⅱ）當直線l的方程為x=﹣4時，符合條件，

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y﹣1=k（x+4），即kx﹣y+4k+1=0，

圓心M到直線l的距離d= =5，解得k= ，

∴y= ，

綜上，直線l的方程為x=﹣4或y=

【解析】（Ⅰ）求出線段AB的中點坐標為（ ， ），直線AB的斜率kAB=﹣ ，從而得到AB的中垂線方程為y=3x﹣5，再由圓心M在直線y=x﹣3上，聯(lián)立方程組，求出圓心M，從而求出r=|MA|，由此能求出圓M的方程．（Ⅱ）當直線l的方程為x=﹣4時，符合條件，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為kx﹣y+4k+1=0，則圓心M到直線l的距離d= =5，求出k，由此能求出直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．