Question

【題目】已知橢圓 的中心在原點(diǎn)，離心率為 ，右焦點(diǎn)到直線 的距離為2.
（1）求橢圓 的方程；
（2）橢圓下頂點(diǎn)為 ，直線 （ ）與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解: 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 ，依題意有

又 ，得 , 又 ，

橢圓 的方程為

（2）解: 橢圓下頂點(diǎn)為 ，由 消去 ，得

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

，即

設(shè) ，則

中點(diǎn)坐標(biāo)為

， ， ，即

得 把 代入 ，

得 ，解得 的取值范圍是

【解析】(1)由已知條件求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得出c的值由離心率的值求出a的值，再利用橢圓里的關(guān)系得到b的值進(jìn)而得出橢圓的方程。(2)由題意設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程借助韋達(dá)定理求出 x1 + x2、 x1x2 關(guān)于m的代數(shù)式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)的公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合題意中的垂直關(guān)系得出k AD kMN = 1
得到k和m的關(guān)系式，代入上式得到關(guān)于m的不等式組解出m的取值范圍。