Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+b．
（1）若f（x）＜0的解集為（﹣1，3），求a，b的值；
（2）當a=1時，若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當b=a時，解關于x的不等式f（x）＜0（結果用a表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）＜0的解集是（﹣1，3），

∴x2﹣（a+1）x+b=0的兩個根是﹣1，3，

∴ ，

解得：a=1，b=﹣3；

（2）解：a=1時，f（x）=x2﹣2x+b，

∵x∈R，f（x）≥0恒成立，

∴△=（﹣2）2﹣4b≤0，解得：b≥1，

故b的范圍是[1，+∞）；

（3）解：b=a時，f（x）＜0即x2﹣（a+1）x+a＜0，

∴（x﹣1）（x﹣a）＜0，

a＜1時，a＜x＜1，a=1時，x∈，

a＞1時，1＜x＜a，

綜上，a＜1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，

a=1時，不等式f（x）＜0的解集是，

a＞1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．

【解析】（1）將x=﹣1，3代入f（x）=0，得到關于a，b的方程組，解出即可；（2）將a=1代入函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出b的范圍即可；（3）問題轉化為x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，通過討論a的范圍求出不等式的解集即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．