Question

已知橢圓C：，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過的定點F為橢圓的一個焦點，且橢圓上的點到焦點F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動弦，且M、N均在橢圓C上，定點T（4，0），直線MF與直線NT交于點S．求證：
①點S恒在橢圓C上；
②求△MST面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化直線方程為直線系方程，然后聯(lián)立方程組求出定點F的坐標(biāo)，得到c的值，然后由橢圓上的點到焦點F的最大距離為3得到a+c=3，求出a的值，結(jié)合b²=a²-c²可得b得值，則答案可求；
（2）①設(shè)出直線MN的方程，求出M和N的坐標(biāo)，然后寫出MF和NF所在的直線方程，聯(lián)立后得到S點的坐標(biāo)，代入橢圓方程后成立，則問題得到證明．
②設(shè)出直線MS的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，S兩點的縱坐標(biāo)的和與積，然后代入面積公式，換元后利用“對勾函數(shù)”的單調(diào)性求得答案．
解答：解：（1）直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化為
m（x-2y-1）+3x+y-3=0，
所以，解得．
所以F（1，0）．則c=1，又a+c=3，所以a=2，則b²=a²-c²=3．
所以橢圓方程為；
（2）①設(shè)直線MN的方程為x=s，M的坐標(biāo)為（s，t），N的坐標(biāo)為（s，-t）．
且s、t滿足3s²+4t²=12．
MF的直線方程為，NT的直線方程為．
聯(lián)立解得交點S（），代入橢圓方程3x²+4y²=12得，
3（5s-8）²+36t²=12（2s-5）²，化簡得：3s²+4t²=12．
所以點S恒在橢圓C上；
②直線MS過點F（1，0），設(shè)方程為x=my+1，M（x₁，y₁），S（x₂，y₂）．
．
聯(lián)立，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
，．
所以．
設(shè)m²+1=u（u≥1），則=．
由對勾函數(shù)可知9u+在（）上位減函數(shù)，（）上為增函數(shù)，
所以的最小值為10．
所以．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題方法，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，該題綜合性較強，需要學(xué)生具有較好的理解能力和計算能力，是難題．