Question

已知向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，若

m

⊥

n

，則8x+(

1

16

)y的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：先根據(jù)

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，從而求出x，y的等量關(guān)系，然后直接利用基本不等式可求出8x+(

1

16

)y的最小值，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：∵向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（-x+1）×3+2×（2y-1）=-3x+4y+1=0，即3x-4y=1，
∴8x+(

1

16

)y≥2

8x•( 1 16 )y

=2

23x•2-4y

=2

23x-4y

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)8x=(

1

16

)y，即x=

1

6

，y=-

1

8

時(shí)取等號(hào)；
∴8x+(

1

16

)y的最小值為2

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用以及數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．兩向量垂直可以轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積等于0，也可以運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．屬于中檔題．