Question

已知向量

m

=(1，sin(ωx+

π

3

))，

n

=(2，2sin(ωx-

π

6

))（其中ω為正常數(shù)）
（Ⅰ）若ω=1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，求

m

∥

n

時(shí)tanx的值；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=

m

•

n

-2，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

π

2

，求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）ω=1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，利用

m

∥

n

，推出sin(x-

π

6

)=sin(x+

π

3

)，然后利用兩角差與和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)求出tanx的值；
（Ⅱ）先求f（x）=

m

•

n

-2，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

π

2

，確定周期求出ω，然后求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）

m

∥

n

時(shí)，sin(x-

π

6

)=sin(x+

π

3

)，（2分）
sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

則

3

2

sinx-

1

2

cosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx（4分）

3 -1

2

sinx=

3 +1

2

cosx，
所以tanx=

3 +1

3 -1

=2+

3

（6分）
（Ⅱ）f(x)=2sin(ωx-

π

6

)sin(ωx+

π

3

)=2sin(ωx-

π

6

)cos[(ωx+

π

3

)-

π

2

]=2sin(ωx-

π

6

)cos(ωx-

π

6

)=sin(2ωx-

π

3

)．（9分）
（或f(x)=2sin(ωx-

π

6

)sin(ωx+

π

3

)=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2(

3

4

sin2ωx-

3

4

cos2ωx+

1

2

sinωxcosωx)=-

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

3

)（9分）
∵函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

π

2

∴f（x）的最小正周期為π，又ω為正常數(shù)，
∴

2π

2ω

=π，解之，得ω=1．（11分）
故f(x)=sin(2x-

π

3

)．
因?yàn)?span id="oz5rmdf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x∈[0，

π

2

]，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
故當(dāng)x=-

π

3

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，平行向量與共線向量，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．