Question

設(shè)O為△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，當(dāng)AB=AC=5，BC=6時(shí)，

AO

=λ

AB

+μ

BC

 (λ，μ∈R)，則λ+μ=

-

15

16

．

Answer 1

分析：因?yàn)椋篛為△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，令，|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，則有a×

OA

+ b×

OB

+c×

OC

=0，再利用三角形中向量之間的關(guān)系，將等式變形為

AO

=λ

AB

+μ

BC

(λ，μ∈R)，利用平面向量基本定理即可解決．

解答：解：因?yàn)椋篛為△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，令，|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，則有 a×

OA

+ b×

OB

+c×

OC

=0∵

OB

=

OA

-

BA

，

OC

=

OA

-

CA

，

AC

=

AB

+

BC

，
∴a×

OA

+ b×(

OA

-

BA

)+c×(

OA

-

CA

)=0，
∴(a+b+c)

OA

=-(b+c)×

AB

-c×

BC

∴

OA

=-

b+c

a+b+c

×

AB

-

c

a+b+c

×

BC

∵

AO

=λ

AB

+μ

BC

(λ，μ∈R)
∴λ=-

b+c

a+b+c

，μ=-

c

a+b+c

∵a=6，b=c=5．
∴λ=-

10

16

，μ=-

5

16

∴λ+μ=-

15

16

故答案為-

15

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，主要考查向量與三角形的結(jié)合，考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用平面向量基本定理，將向量用基底唯一線性表示．