Question

【題目】已知函數(shù)的極小值為．

（1）求實(shí)數(shù)k的值；

（2）令，當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得極值，由極小值為求得值；

（2）由（1）得，令，同樣由（1）可得的單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)利用（1）中結(jié)論），這樣得到關(guān)于u的不等式的解集應(yīng)是單調(diào)遞增區(qū)間的子集，而，從而，接著要證題中不等式，可先證，這又可設(shè)，，換元后同樣由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，證得不等式成立．

（1）顯然，，由題意得：

令得：

若，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為極小值點(diǎn)，合題意．

由得：．

若，顯然不合題意．

所以．

（2）由題意得：，令

由（1）易知在單調(diào)遞減，且；在單調(diào)遞增

故關(guān)于u的不等式：的解集應(yīng)是單調(diào)遞增區(qū)間的子集

又，從而

令

．

令，則

所以

顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

所以

又，所以，從而

于是，即

又

故．