Question

（滿分15分）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為 
（1）求橢圓的方程 
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C D兩點 問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由 

Answer 1

（1）；（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點E.

第一問中利用A（0，-b）和B（a，0）的坐標，設(shè)出直線方程，然后利用橢圓的性質(zhì)得到
然后求解得到a,b的值。從而得到橢圓方程
第二問中，聯(lián)立方程組，直線與橢圓聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理，以及以CD為直徑的圓過E點，即當且僅當CE⊥DE時，可知k的值。
解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0 依題意　解得　
∴　橢圓方程為　  ………………6分
（2）假若存在這樣的k值，由得 
　∴　 　　�、�
　　設(shè)， ，，則�、�
　　而  ………………10分
　　要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即 ∴　 ③
　　將②式代入③整理解得 經(jīng)驗證，，使①成立 
　　綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E  ………………15分