Question

【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個故事，說的是齊國將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬，孫臏發(fā)也們的馬腳力都差不多，都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略：比賽即將開始時，他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬，用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬，用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬，從而使田忌贏得公子們許多賭注假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進(jìn)行一場比賽獲勝的概率如表所示：

田忌的馬獲勝概率公子的馬	上等馬	中等馬	下等馬
上等馬			1
中等馬
下等馬	0

比賽規(guī)則規(guī)定：一次比由三場賽馬組成，每場由公子和田忌各出一匹馬出騫，結(jié)果只有勝和負(fù)兩種，并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同，三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者．

如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

如果比賽約定，只能同等級馬對戰(zhàn)，每次比賽賭注1000金，即勝利者贏得對方1000金，每月比賽一次，求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1）0.72；（2）見解析

【解析】

由題意知，田忌第三場比賽必輸，則前兩場比賽都勝，因而利用相互獨立事件的概率乘法公式可得出答案；

先計算出田忌比賽一次獲勝的概率，并計算出田忌比賽一次獲利的數(shù)學(xué)期望，這個期望乘以12即可得出田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望。

（1）記事件A：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，

對于事件A，三場比賽中，由于第三場必輸，則前兩次比賽中田忌都勝，

因此，；

設(shè)田忌在每次比賽所得獎金為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的可能取值為和1000，

若比賽一次，田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝、負(fù)勝勝、勝負(fù)勝、勝勝負(fù)，

設(shè)比賽一次，田忌獲勝的概率為，則．

隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

		1000

所以，．

因此，田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為金。