Question

若函數(shù)f（x）同時具有以下兩個性質(zhì)：①f（x）是偶函數(shù)；②對任意實數(shù)x，都有f（）=f（），則下列函數(shù)中，符合上述條件的有 ________．（填序號）
①f（x）=cos4x；②f（x）=sin（2x）；
③f（x）=sin（4x）；④f（x）=cos（4x）．

Answer 1

①③
分析：根據(jù)條件先判斷函數(shù)的一條對稱軸是，再利用誘導(dǎo)公式對選項中解析式進(jìn)行化簡，根據(jù)正弦（余弦）函數(shù)的奇偶性和對稱軸方程進(jìn)行逐一判斷．
解答：由題意知，函數(shù)的一條對稱軸是x=，
①、f（x）=cos4x是偶函數(shù)，把x=代入得，4x=π，則是函數(shù)的對稱軸，故①符合條件；
②、f（x）=sin（2x）=cos2x是偶函數(shù)，把代入得，2x=，則不是函數(shù)的對稱軸，故②不符合題意；
③、f（x）=sin（4x）=cos4x，同①分析，故③符合題意；
④、f（x）=cos（4x）=-sin4x是奇函數(shù)，故④不符合題意．
故答案為：①③．
點評：本題考查了正弦（余弦）函數(shù)的奇偶性和對稱性的應(yīng)用，需要先通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，考查了分析問題和解決問題的能力．