Question

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展開式中，x的系數(shù)為9．求f（x）展開式中x²的系數(shù)的最小值．

Answer 1

解：x的系數(shù)為C_m¹+C_n¹=9，即m+n=9．∴m=9-n…（4分）
（1）若m=1，n=8，或m=8，n=1時(shí)，f（x）=（1+x）+（1+x）⁸
此時(shí)，x²的系數(shù)為T=C₈²=28…（6分）
（2）若m≠1，且n≠8，或m≠8，且n≠1時(shí)x²的系數(shù)為T=C_m²+C_n²=．…（9分）
∵m，n∈N，m、n≥1，∴1≤n≤8，且n∈N
∴當(dāng)n=4或5時(shí)，x²系數(shù)取得最小值，最小值為16…（12分）
綜合（1）（2）得．當(dāng)n=4或5時(shí)，x²系數(shù)取得最小值，最小值為16…（13分）
分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的x的系數(shù)，列出方程得到m，n的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出x²的系數(shù)，將m，n的關(guān)系代入得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配方求出最小值
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題；利用賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．