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        1. (2009•江西)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有
          am+an
          (1+am)(1+an)
          =
          ap+aq
          (1+ap)(1+aq)

          (1)當(dāng)a=
          1
          2
          ,  b=
          4
          5
          時(shí),求通項(xiàng)an;
          (2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個(gè)正整數(shù)n,都有
          1
          λ
          an≤λ
          分析:(1)由
          am+an
          (1+am)(1+an)
          =
          ap+aq
          (1+ap)(1+aq)
          ,令m=1,p=2,q=n-1,并將a1=
          1
          2
          ,a2=
          4
          5
          代入化簡,可得數(shù)列{
          1-an
          1+an
          }
          是首項(xiàng)為
          1
          3
          ,公比為
          1
          3
          的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列的通項(xiàng);
          (2)記為bm+n,則bn+1=
          a1+an
          (1+a1)(1+an)
          =
          a+an
          (1+a)(1+an)
          ,考察函數(shù) f(x)=
          a+x
          (1+a)(1+x)
            (x>0)
          ,則在定義域上有f(x)≥g(a)=
          1
          1+a
          ,
          a>1
          1
          2
          ,
          a=1
          a
          1+a
          ,
          0<a<1
          ,從而對n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立,結(jié)合b2n=
          2an
          (1+an)2
          ≥g(a)
          ,即可得證.
          解答:(1)解:由
          am+an
          (1+am)(1+an)
          =
          ap+aq
          (1+ap)(1+aq)
          a1+an
          (1+a1)(1+an)
          =
          a2+an-1
          (1+a2)(1+an-1)

          a1=
          1
          2
          ,a2=
          4
          5
          代入化簡得an=
          2an-1+1
          an-1+2

          所以
          1-an
          1+an
          =
          1
          3
          1-an-1
          1+an-1
          ,
          故數(shù)列{
          1-an
          1+an
          }
          是首項(xiàng)為
          1
          3
          ,公比為
          1
          3
          的等比數(shù)列,從而
          1-an
          1+an
          =
          1
          3n
          ,即an=
          3n-1
          3n+1

          (2)證明:由題設(shè)
          am+an
          (1+am)(1+an)
          的值僅與m+n有關(guān),記為bm+n,則bn+1=
          a1+an
          (1+a1)(1+an)
          =
          a+an
          (1+a)(1+an)

          考察函數(shù) f(x)=
          a+x
          (1+a)(1+x)
            (x>0)
          ,則在定義域上有f(x)≥g(a)=
          1
          1+a
          a>1
          1
          2
          ,
          a=1
          a
          1+a
          ,
          0<a<1

          故對n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立
          又 b2n=
          2an
          (1+an)2
          ≥g(a)
          ,
          注意到0<g(a)≤
          1
          2
          ,解上式得
          g(a)
          1-g(a)+
          1-2g(a)
          =
          1-g(a)-
          1-2g(a)
          g(a)
          an
          1-g(a)+
          1-2g(a)
          g(a)
          ,
          λ=
          1-g(a)+
          1-2g(a)
          g(a)
          ,即有
          1
          λ
          an≤λ
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查賦值法的運(yùn)用,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度較大.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•棗莊一模)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,滿足(p-1)Sn=p2-an,其中p為正常數(shù),且p≠1.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=
          12-logpan
          (n∈N*),求數(shù)列{bnbn+1}的前n項(xiàng)和Tn
          的取值范圍;
          (3)是否存在正整數(shù)M,使得n>M時(shí),a1a4a7…a3n-2>a78恒成立?若存在,求出相應(yīng)的M的最小值;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•江西模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義域在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),對于任意正數(shù)x,y都有f(x,y)=f(x)+f(y),且f(2)=1.
          (1)求f(
          12
          )
          的值;
          (2)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*),其中是Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對于任意n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列,則a2009=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009江西卷理)(本小題滿分14分)

          各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,,且對滿足的正整數(shù)都有

          (1)當(dāng)時(shí),求通項(xiàng)           

          (2)證明:對任意,存在與有關(guān)的常數(shù),使得對于每個(gè)正整數(shù),都有

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          同步練習(xí)冊答案