Question

（2009•棗莊一模）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

2-logpan

(n∈N*)，求數(shù)列{bnbn+1}的前n項(xiàng)和Tn的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)M，使得n＞M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的遞推公式，進(jìn)而求解．
（2）將（1）中的結(jié)論代入b_n=

1

2-logpan

，求出bn，進(jìn)而求出b_nb_n+1，利用列項(xiàng)法求出T_n，即可求出T_n的范圍；
（3）不等式化簡(jiǎn)可得(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76，討論p與1的大小，分別求出滿足條件的M，從而得到所求．

解答：解：（1）由題設(shè)知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．…（1分）
同時(shí)

(p-1)Sn=p2-an (p-1)Sn+1=p2-an+1

兩式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
所以（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，即a_n+1=

1

p

an，
可見，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為p，公比為

1

p

的等比數(shù)列．…（4分）
an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2．…（5分）
（2）b_n=

1

2-logpp2-n

=

1

2-(2-n)

=

1

n

．…（7分）
b_nb_b+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

…（9分）
所以，Tn∈[

1

2

，1)…（10分）
（3）a1a4a7…a3n-2=(

1

p

)-1+2+5…(3n-4)=(

1

p

)

n(3n-5)

2

，
a78=(

1

p

)76由題意，要求(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76．…（12分）
①當(dāng)p＞1時(shí)，

n(3n-5)

2

＜76，即3n2-5n-152＜0．
解得-

19

3

＜n＜8．不符合題意，此時(shí)不存在符合題意的M．   …（14分）
②當(dāng)0＜p＜1時(shí)，

n(3n-5)

2

＞76，即3n2-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-

19

3

（舍去）．此時(shí)存在的符合題意的M=8．
綜上所述，當(dāng)0＜p＜1時(shí)，存在M=8符合題意；
當(dāng)p＞1時(shí)，不存在正整數(shù)M，使得命題成立．      …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，以及證明不等式的能力，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題．