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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. A已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
          1
          4
          ,公比q=
          1
          4
          的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3log
          1
          4
          an  (n∈N*)
          ,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn
          (1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)若cn
          1
          4
          m2+m-1
          對一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=
          2
          3
          an+n-4
          ,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
          (Ⅰ)對任意實(shí)數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
          (Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
          (Ⅲ)設(shè)0<a<b(a,b為實(shí)常數(shù)),Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.
          分析:A:(1)由題意得:an=(
          1
          4
          )
          n
          ,(n∈N*)
          ,由bn=3log 
          1
          2
          an-2
          ,b1=3log
          1
          4
          an -2=1
          ,知bn+1-bn=3log
          1
          4
          an+1 -3log
          1
          4
          an
          =3,由此能證明數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
          (2)由an=(
          1
          4
          )
          n
          ,(n∈N*)
          ,bn=3n-2,知cn=(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n
          ,n∈N*
          ,故Sn=1×
          1
          4
          +4×(
          1
          4
          )
          2
          +7×(
          1
          4
           3+…+
          (3n-5)×(
          1
          4
          )
          n-1
          +(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n
          ,由錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
          (3)由cn+1-cn=(3n+1)(
          1
          4
          )
          n
          -(3n-2)(
          1
          4
          )
          n
          =9(1-n)(
          1
          4
          )
          n+1
          ,知當(dāng)n=1時(shí),c2=c1 =
          1
          4
          ,當(dāng)n≥2時(shí),cn+1<cn,由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          B:(Ⅰ)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使{an}是等比數(shù)列,則有a22=a1a2,即(
          2
          3
          λ-3
          2=λ(
          4
          9
          λ-4)
          ,等價(jià)于9=0矛盾.所以{an}不是等比數(shù)列.
          (Ⅱ)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=-
          2
          3
          bn,故當(dāng)λ≠-18時(shí),b1=-(λ+18)≠0,
          bn+1
          bn
          =-
          2
          3
          ,(n∈N+).故當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng),-
          2
          3
          為公比的等比數(shù)列.
          (Ⅲ)由λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求,知λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-
          2
          3
          n-1,于是Sn=-
          3
          5
          (λ-18)•[1-(-
          2
          3
          )n ]
          ,要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立,即a<-
          3
          5
          (λ+18)•[1-(-
          2
          3
          n]<b(n∈N+),由此能求出λ的取值范圍.
          解答:A解:(1)由題意得:an=(
          1
          4
          )
          n
          ,(n∈N*)
          ,
          bn=3log 
          1
          2
          an-2
          b1=3log
          1
          4
          an -2=1
          ,
          bn+1-bn=3log
          1
          4
          an+1 -3log
          1
          4
          an
          =3log
          1
          4
          an+1
          an
          =3log
          1
          4
          q=3
          ,
          故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差d=3的等差數(shù)列.
          (2)∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差d=3的等差數(shù)列,
          an=(
          1
          4
          )
          n
          ,(n∈N*)
          ,bn=3n-2,
          cn=(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n
          ,n∈N*
          ,
          Sn=1×
          1
          4
          +4×(
          1
          4
          )
          2
          +7×(
          1
          4
           3+…+
          (3n-5)×(
          1
          4
          )
          n-1
          +(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n

          1
          4
          Sn=1×(
          1
          4
          )
          2
          +4×(
          1
          4
          )
          3
          +7× (
          1
          4
          )
          4
           +…+
          (3n-5)×(
          1
          4
          )
          n
          +(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n+1
          ,
          (1-
          1
          4
          )Sn=
          1
          4
          +3[(
          1
          4
          )
          2
          +(
          1
          4
          )
          3
          +(
          1
          4
          )
          4
           +…+
          (
          1
          4
          )
          n
          ]
          -(3n-2)×(
          1
          4
          )
          n+1

          Sn=
          2
          3
          -
          12n+8
          3
          ×(
          1
          4
          )
          n+1
          ,n∈N*

          (3)∵cn+1-cn=(3n+1)(
          1
          4
          )
          n+1
          -(3n-2)(
          1
          4
          )
          n
          =9(1-n)(
          1
          4
          )
          n+1
          ,
          ∴當(dāng)n=1時(shí),c2=c1 =
          1
          4

          當(dāng)n≥2時(shí),cn+1<cn,即c1=c2<c3<c4<…<cn
          ∴當(dāng)n=1時(shí),cn取最大值是
          1
          4
          ,
          cn
          1
          4
          m2+m-1
          對一切正整數(shù)n恒成立,
          1
          4
          m2+m-1≥
          1
          4
          ,
          即m2+4m-5≥0,得m≥1,或m≤-5.
          B解:(Ⅰ)證明:假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使{an}是等比數(shù)列,則有a22=a1a2,
          即(
          2
          3
          λ-3
          2=λ(
          4
          9
          λ-4)
          ,
          等價(jià)于
          4
          9
          λ
          2-4λ+9=
          4
          9
          λ2-4λ
          ,
          等價(jià)于9=0矛盾.
          所以{an}不是等比數(shù)列.…4分
          (Ⅱ)解:因?yàn)閎n+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1
          2
          3
          an-2n+14)
          =-
          2
          3
          (-1)n•(an-3n+21)=-
          2
          3
          bn
          當(dāng)λ≠-18時(shí),b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,
          bn+1
          bn
          =-
          2
          3
          ,(n∈N+).
          故當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng),-
          2
          3
          為公比的等比數(shù)列,…8分
          (Ⅲ)由(2)知,當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.…9分
          ∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-
          2
          3
          n-1,于是可得
          Sn=-
          3
          5
          (λ-18)•[1-(-
          2
          3
          )n ]
          ,…10分
          要使a<Sn<b對任意正整數(shù)n成立,
          即a<-
          3
          5
          (λ+18)•[1-(-
          2
          3
          n]<b(n∈N+),
          a
          1-(-
          2
          3
          )n
          <-
          3
          5
          (λ+18)<
          b
          1-(-
          2
          3
          )n
          ,
          f(n)=1-(-
          2
          3
          )n
          ,則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),1<f(n)
          5
          3
          ;
          當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),
          5
          9
          ≤f(n)<1

          ∴f(n)的最大值為f(1)=
          5
          3
          ,f(n)的最小值為f(2)=
          5
          9
          ,…12分
          于是,由①式得
          9
          5
          a<-
          3
          5
          (λ+18)<
          3
          5
          b
          ,
          ∴-b-18<λ<-3a-18,
          當(dāng)a<b≤3a時(shí),由-b-18≥-3a-18,不存在實(shí)數(shù)滿足要求;
          當(dāng)b>3a存在λ,使得對任意正整數(shù)n,
          都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是(-b-18,-3a-18)…14分.
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a等于1且公比q不等于1的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.
          (1) 求和 Tn=a1+a4+a7+…+a3n-2;
          (2) 證明 12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列.

          查看答案和解析>>

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是無窮等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和是Sn,若a2+a3=2,a3+a4=1,則
          lim
          n→∞
          Sn
          的值為( 。
          A、
          2
          3
          B、
          4
          3
          C、
          8
          3
          D、
          16
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          A已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為數(shù)學(xué)公式,公比q=數(shù)學(xué)公式的等比數(shù)列,設(shè)數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn

          (1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
          (3)若數(shù)學(xué)公式對一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
          (Ⅰ)對任意實(shí)數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
          (Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
          (Ⅲ)設(shè)0<a<b(a,b為實(shí)常數(shù)),Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年安徽省六安市舒城中學(xué)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          A已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為,公比q=的等比數(shù)列,設(shè),數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn
          (1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)若對一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,,,其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
          (Ⅰ)對任意實(shí)數(shù)λ,證明:數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
          (Ⅱ)證明:當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
          (Ⅲ)設(shè)0<a<b(a,b為實(shí)常數(shù)),Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

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