Question

A已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．

（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
B已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，，，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b（a，b為實(shí)常數(shù)），S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

A解：（1）由題意得：a_n=，
∵，，
∴==，
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列，
∴，b_n=3n-2，
∴，
∴，
∴，
∴-，
∴．
（3）∵=9（1-n），
∴當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＜c₃＜c₄＜…＜c_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，c_n取最大值是，
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
∴，
即m²+4m-5≥0，得m≥1，或m≤-5．
B解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使{a_n}是等比數(shù)列，則有，
即（）²=，
等價(jià)于^2-4，
等價(jià)于9=0矛盾．
所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：因?yàn)閎_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=-（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n．
當(dāng)λ≠-18時(shí)，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴，（n∈N⁺）．
故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列，
（Ⅲ）由（2）知，當(dāng)λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-）^n-1，于是可得
S_n=-，
要使a＜S_n＜b對(duì)任意正整數(shù)n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺），
得，
令，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f（n）；
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，
∴f（n）的最大值為f（1）=，f（n）的最小值為f（2）=，
于是，由①式得，
∴-b-18＜λ＜-3a-18，
當(dāng)a＜b≤3a時(shí)，由-b-18≥-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足要求；
當(dāng)b＞3a存在λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，
都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．
分析：A：（1）由題意得：a_n=，由，，知=3，由此能證明數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（2）由，b_n=3n-2，知，故，由錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）由=9（1-n），知當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
B：（Ⅰ）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使{a_n}是等比數(shù)列，則有，即（）²=，等價(jià)于9=0矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）因?yàn)閎_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=-b_n，故當(dāng)λ≠-18時(shí)，b₁=-（λ+18）≠0，，（n∈N⁺）．故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列．
（Ⅲ）由λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求，知λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-）^n-1，于是S_n=-，要使a＜S_n＜b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺），由此能求出λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．