Question

【題目】已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ．
（Ⅰ）求 ，猜想 的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）設(shè) ，求證：數(shù)列 中任意三項(xiàng)均不成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求出 ，猜想 ，數(shù)學(xué)歸納法證明：

（ⅰ）當(dāng) 時(shí)，猜想成立；

（ⅱ）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，猜想成立，即

當(dāng) 時(shí)，

∴當(dāng) 時(shí)，猜想也成立

綜上，對(duì)一切 ， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．

假設(shè)數(shù)列 中存在三項(xiàng) （ 互不相等）成等比數(shù)列，

則 ．即 ．

∴ ∵ ，

∴ ∴ ， ，∴ ．

與 矛盾．

所以數(shù)列 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列

【解析】（1）先由已知?dú)w納猜想出一般結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列或不是等比數(shù)列，都得緊扣定義，這里用反證法。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．