Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，且底面與側面垂直， ， 分別為線段的中點， ， ， ，且.

（1）證明： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理以及線面平行的判定定理可得與平面平面平行，從而可得平面平面，進而根據(jù)面面平行的性質可得平面；（2）因為底面與側面垂直，且，所以底面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，先求出的方向向量，再根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）證明：因為分別為線段的中點， ，所以， ，

又，所以平面平面，

因為平面，所以平面.

（2）解：因為底面與側面垂直，且，所以底面.

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ， ，

所以， ，

設是平面的法向量，則，即，

故可取.

設與平面所成角為，則，

故與平面所成角的正弦值為.