Question

設f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（1）方程f（x）=0有實數根；
（2）-2＜

b

a

＜-1；
（3）設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實數根，則

3

3

≤|x₁-x₂|＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據已知中a+b+c=0，利用配方法求出二次方程f（x）=0的△＞0，即可判斷出方程f（x）=0有實數根；
（2）由a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，我們可構造關于

b

a

的不等式，解不等式可得）-2＜

b

a

＜-1；
（3）當x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實數根時，根據韋達定理我們可以求出，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2的范圍，開方后可得

3

3

≤|x₁-x₂|＜

3

2

．

解答：解：（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[

3

4

a2+(

1

2

a-c)2]＞0
f（x）=3ax²+2bx+c=0有實數根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴-a2(1+

b

a

)(2+

b

a

)＞0，
∴(1+

b

a

)(2+

b

a

)＜0
解得-2＜

b

a

＜-1----------（9分）
（3）∵x1，x2是方程f（x）=0的兩個實數根，
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=

c

3a

=-

a+b

3a

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=

4b2

9a2

-4（-

a+b

3a

）
=

4

9

(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

∵-2＜

b

a

＜-1
∴

1

3

＜(x1-x2)2＜

4

9

∴

3

3

≤|x₁-x₂|＜

2

3

．--------（15分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，方程的根，韋達定理，是函數、方程與不等式之間相互關系的典型例題．