Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：
（Ⅰ）a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根．

Answer 1

分析：（I）先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數(shù)式中的a，b，c進(jìn)行表示，再結(jié)合等式關(guān)系利用不等式的基本性質(zhì)即可得到a和

a

b

的范圍即可．
（II）欲證明方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根，根據(jù)根的存在性定理，只須證明某一個函數(shù)值小于0即可，最后只須證明在二次函數(shù)頂點(diǎn)處的函數(shù)值小于0即可．

解答：解：證明：（I）因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜

b

a

＜-1．
（II）拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，
在-2＜

b

a

＜-1的兩邊乘以-

1

3

，得

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

．
又因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，
而f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間(0，-

b

3a

)與(-

b

3a

，1)內(nèi)分別有一實(shí)根．
故方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．