Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：a＞0且-2＜

b

a

＜-1．

Answer 1

分析：先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數(shù)式中的a，b，c進(jìn)行表示，再結(jié)合等式關(guān)系利用不等式的基本性質(zhì)即可得到a和

a

b

的范圍即可．

解答：證明：f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+

b

a

＜0，∴

b

a

＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+

b

a

＞0，∴

b

a

＞-2．故-2＜

b

a

＜-1．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．