Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，則該數(shù)列的前18項(xiàng)和為（　�。�

• A、2101
• B、2012
• C、1012
• D、1067

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列的前18項(xiàng)的和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，
∴∴a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
∴a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
∴數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_2k=2^k．
∴數(shù)列的前18項(xiàng)的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考出數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意總結(jié)規(guī)律，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．