Question

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.

(1)求證:BD⊥平面ACFE;

(2)當直線FO與平面BDE所成的角為45°時,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（1）因為底面是菱形，故，而由平面可得，故平面.（2）取 的中點為，以為坐標原點,以為軸,以為軸，以為軸,建立空間直角坐標系，利用空間向量計算二面角的余弦值.

解析：(1)證明:在菱形中,可得，又因為平面 , ，且平面.

(2)取 的中點為，以為坐標原點,以為軸,以為軸，以為軸,建立空間直角坐標系，則，則,設平面的法向量，

由 ，也就是，可取 ①

則，解得，故

設平面的法向量為

設平面的法向量為 ,

同理①可得

則，則二面角的余弦值為.