【題目】已知,
且
,
且
,函數(shù)
.
(1)如果實數(shù)a,b滿足,
,試判斷函數(shù)
的奇偶性;
(2)設,
,判斷函數(shù)
在R上的單調(diào)性并加以證明.
【答案】(1)當時,
是偶函數(shù);當
時,
是奇函數(shù);當
時,
既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)函數(shù)
在R上是增函數(shù),證明見解析.
【解析】
(1)討論,
,
三種情況,根據(jù)奇偶性的定義得到答案.
(2)函數(shù)單調(diào)遞增,設,
且
,計算得到
,得到證明.
(1)由已知,得,
,
.
若是偶函數(shù),則
,即
,
對任意實數(shù)x恒成立,
;
若是奇函數(shù),則
,即
,
對任意實數(shù)x恒成立,
.
綜上,當時,
是偶函數(shù);當
時,
是奇函數(shù);當
時,
既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(2),
,∴函數(shù)
是增函數(shù),
是減函數(shù).
由知,
是增函數(shù),即函數(shù)
在R上是增函數(shù).
證明如下:設,
且
,則
.
,
,
,
,
,
,
,即
,故函數(shù)
在R上是增函數(shù).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當時,函數(shù)
在
上是單調(diào)函數(shù);
(2)當時,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗,為確保疫苗質(zhì)量,定期進行質(zhì)量檢驗.某次檢驗中,從產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本,測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項指標值,根據(jù)測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)技術(shù)分析人員認為,本次測量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布,若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替,計算
,并計算測量數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)內(nèi)的概率;
(3)設生產(chǎn)成本為y元,質(zhì)量指標值為,生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標值之間滿足函數(shù)關(guān)系
假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替,試計算生產(chǎn)該疫苗的平均成本.
參考數(shù)據(jù):,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,曲線C1的普通方程為,曲線C2參數(shù)方程為
為參數(shù)),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的極坐標方程為
.
(1)求C1的參數(shù)方程和的直角坐標方程;
(2)已知P是C2上參數(shù)對應的點,Q為C1上的點,求PQ中點M到直線
的距離取得最大值時,點Q的直角坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某大學學生在某天上網(wǎng)的時間,隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調(diào)查. 得到如下的統(tǒng)計結(jié)果.
表1:男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
表2:女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
完成下面的2×2列聯(lián)表,并回答能否有90%的把握認為“大學生上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”?
附:,其中
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在實數(shù),使得
成立,則x0稱為f(x)的“不動點”.
(1)設函數(shù),求
的不動點;
(2)設函數(shù),若對于任意的實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩相異的不動點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設函數(shù)定義在
上,證明:若
存在唯一的不動點,則
也存在唯一的不動點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知五邊形ABECD由一個直角梯形和一個等邊三角形
構(gòu)成(如圖1所示),
且
.將梯形
沿著
折起(如圖2所示),點
是
的中點,
平面
(1)求證:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:①存在實數(shù)α,使sinαcosα=1; ②函數(shù)y=sin(x)是偶函數(shù):③直線x
是函數(shù)y=sin(2x
)的一條對稱軸:④若α、β是第一象限的角,且α>β,則sinα>sinβ.其中正確的命題是( )
A.①②B.②③C.①③D.②③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以原點為極點,
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
.
(1)求的極坐標方程;
(2)若曲線的極坐標方程為
,直線
與
在第一象限的交點為
,與
的交點為
(異于原點),求
.
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