Question

【題目】定義：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)”．函數(shù)．

（1）若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再利用“雙奇函數(shù)”的定義即可求出的值；

（2）若時(shí)，對(duì)分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．從而分析出函數(shù)的極值點(diǎn)．

（1），，

又函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，

對(duì)任意且成立，

，

；

（2），且，

即

①當(dāng)時(shí)，，

令得，，（舍去），

若，即，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不存在極值點(diǎn)，

若，即，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)極值點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，，

令，得，記△，

若△，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點(diǎn)，

若△，即時(shí)，則由得，，，，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

綜上所求，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．