Question

通過點(diǎn)A（0，a）的直線y=kx+a與圓（x-2）²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)B、C，在線段BC上取一點(diǎn)P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊，
（1）試用a和k表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求k變化時P點(diǎn)的軌跡；
（3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，建立方程，可求P的橫坐標(biāo)，直線方程代入圓方程，利用韋達(dá)定理，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由x，y的表達(dá)式中消去k，即可得到P點(diǎn)的軌跡；
（3）確定點(diǎn)M在圓內(nèi)，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)B（x₁，y₁），c（x₂，y₂），P（x，y），
依題意知，

|BP|

|PC|

=

x-x1

x2-x

，

|AB|

|AC|

=

x1

x2

，
∴

x-x1

x2-x

=

x1

x2

，∴x=

2x1x2

x1+x2

…（4分）
由直線方程代入圓方程，整理得，（1+k²）x²+（2ak-4）x+（a²+3）=0
由x1+x2=

4-2ak

1+k2

，x1x2=

a2+3

1+k2

代入x=

2x1x2

x1+x2

得x=

a2+3

2-ak

，y=k

a2+3

2-ak

+a=

3k+2a

2-ak

…（6分）
（2）解：由x，y的表達(dá)式中消去k得2x-ay-3=0，
∴點(diǎn)P的軌跡是直線2x-ay-3=0在圓內(nèi)的部分．…（8分）
（3）證明：直線2x-ay-3=0恒過定點(diǎn)M（

3

2

，0），點(diǎn)M到圓心C（2，0）的距離|MC|=

1

2

＜r=1，
∴該點(diǎn)在圓內(nèi)
∴P點(diǎn)的軌跡恒過圓內(nèi)的一定點(diǎn)  …（10分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．