Question

通過點A（0，a）的直線y=kx+a與圓（x-2）²+y²=1相交于不同的兩點B、C，在線段BC上取一點P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，設點B在點C的左邊，
（1）試用a和k表示P點的坐標；
（2）求k變化時P點的軌跡；
（3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，建立方程，可求P的橫坐標，直線方程代入圓方程，利用韋達定理，即可得到P點的坐標；
（2）由x，y的表達式中消去k，即可得到P點的軌跡；
（3）確定點M在圓內(nèi)，即可得到結論．
解答：（1）解：設B（x₁，y₁），c（x₂，y₂），P（x，y），
依題意知，，
∴，∴…（4分）
由直線方程代入圓方程，整理得，（1+k²）x²+（2ak-4）x+（a²+3）=0
由
得…（6分）
（2）解：由x，y的表達式中消去k得2x-ay-3=0，
∴點P的軌跡是直線2x-ay-3=0在圓內(nèi)的部分．…（8分）
（3）證明：直線2x-ay-3=0恒過定點M（，0），點M到圓心C（2，0）的距離＜r=1，
∴該點在圓內(nèi)
∴P點的軌跡恒過圓內(nèi)的一定點  …（10分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．