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          通過點A（0，a）的直線y=kx+a與圓（x-2）2+y2=1相交于不同的兩點B、C，在線段BC上取一點P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，設點B在點C的左邊，
          （1）試用a和k表示P點的坐標；
          （2）求k變化時P點的軌跡；
          （3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）設B（x1，y1），c（x2，y2），P（x，y），
          依題意知，
          |BP|
          |PC|
          =
          x-x1
          x2-x
          ，
          |AB|
          |AC|
          =
          x1
          x2
          ，
          ∴
          x-x1
          x2-x
          =
          x1
          x2
          ，∴x=
          2x1x2
          x1+x2
          …（4分）
          由直線方程代入圓方程，整理得，（1+k2）x2+（2ak-4）x+（a2+3）=0
          由x1+x2=
          4-2ak
          1+k2
          ，x1x2=
          a2+3
          1+k2
          代入x=
          2x1x2
          x1+x2

          得x=
          a2+3
          2-ak
          ，y=k
          a2+3
          2-ak
          +a=
          3k+2a
          2-ak
          …（6分）
          （2）由x，y的表達式中消去k得2x-ay-3=0，
          ∴點P的軌跡是直線2x-ay-3=0在圓內(nèi)的部分．…（8分）
          （3）證明：直線2x-ay-3=0恒過定點M（
          3
          2
          ，0），點M到圓心C（2，0）的距離|MC|=
          1
          2
          ＜r=1，
          ∴該點在圓內(nèi)
          ∴P點的軌跡恒過圓內(nèi)的一定點  …（10分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c為實數(shù)，且a≠0），F(x)=
          f(x)
          ，&x＞0
          -f(x)，?x＜0.

          （1）若f（-1）=0，曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，求F（x）的表達式；
          （2）在（Ⅰ）在條件下，當時，，求實數(shù)k的取值范圍；
          （3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）為偶函數(shù)，證明F（m）+F（n）＞0．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          通過點A（0，a）的直線y=kx+a與圓（x-2）2+y2=1相交于不同的兩點B、C，在線段BC上取一點P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，設點B在點C的左邊，
          （1）試用a和k表示P點的坐標；
          （2）求k變化時P點的軌跡；
          （3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010年福建省福州市高一上學期期末考試數(shù)學試卷
				題型：解答題
			
          

						
          （本小題滿分10分）通過點A（0，a）的直線與圓相交于不同的兩點B、C，在線段BC上取一點P，使=，設點B在點C的左邊，（1）試用a和k表示P點的坐標；（2）求k變化時P點的軌跡；（3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點．
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010-2011學年福建省福州高級中學高一（上）期末數(shù)學試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          通過點A（0，a）的直線y=kx+a與圓（x-2）2+y2=1相交于不同的兩點B、C，在線段BC上取一點P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，設點B在點C的左邊，
          （1）試用a和k表示P點的坐標；
          （2）求k變化時P點的軌跡；
          （3）證明不論a取何值時，上述軌跡恒過圓內(nèi)的一定點．
          

			
          

			
          
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