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        1. 已知橢圓C:的短軸長與焦距相等,且過定點(diǎn),傾斜角為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P.
          (I)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)求直線l在y軸上截距的取值范圍;
          (Ⅲ)求△ABP面積的最大值.
          【答案】分析:(I)把點(diǎn)代入橢圓方程,及其2b=2c,a2=b2+c2即可得出.
          (II)把直線l的 方程與橢圓的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程,利用△>0即可.
          (III)利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式即可得到|AB|,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離,進(jìn)而得到面積,
          解答:解:(I)由題意可得,解得a2=2,b2=1.
          ∴橢圓C的方程為
          (II)設(shè)直線l的方程為:y=x+m.
          聯(lián)立,消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0,
          由△=16m2-24(m2-1)>0,得m2<3,即
          ∴直線l在y軸上的取值范圍是
          (III)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).AB中點(diǎn)Q(x,y).
          ,
          ∴y1+y2=x1+x2+2m=
          ,
          ∴Q
          ∴AB的垂直平分線的方程為:
          令y=0,得x=.即
          點(diǎn)P到直線AB的距離d=|PQ|==
          ==
          =
          =
          ∵m2<3,∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),△ABP面積取得最大值
          點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、線段的垂直平分線、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求橢圓C的方程;

          (2)過點(diǎn)且斜率為(>0)的直線C交于兩點(diǎn),是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),證明:三點(diǎn)共線.

           

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          (Ⅰ)求橢圓C的方程;

          (Ⅱ)已知一直線過橢圓C的左焦點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)P、Q,

          (。┤魸M足為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的面積;

          (ⅱ)若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直,點(diǎn)M在軸上,且使的一條角平分線,則稱點(diǎn)M為橢圓C的“左特征點(diǎn)”,求橢圓C的左特征點(diǎn)。

           

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          (2)設(shè)、是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn),且滿足,若,求直線AB的斜率的取值范圍.

           

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          (2)設(shè)是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn),且滿足,若,求直線AB的斜率的取值范圍.

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