Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在x軸上,半徑為2的圓C位于y軸右側(cè),且與直線x- y+2=0相切.

(1)求圓C的方程.

(2)在圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (x-2)2+y2=4(x≠0) (2) .

【解析】分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑為2，與直線x- y+2=0相切，則圓心到直線的距離等于半徑，列方程式求解即可。

（2）點(diǎn)在圓上，則，的面積為，利用幾何性質(zhì)，列出面積的表達(dá)式，求最值即可。

解析：(1)設(shè)圓心是(x0,0)(x0>0),它到直線x-y+2=0的距離是d==2,

解得x0=2或x0=-6(舍去),所以所求圓C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)存在.理由如下:因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在圓C上,

所以(m-2)2+n2=4,

n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.又因?yàn)樵�點(diǎn)到直線l:

mx+ny=1的距離h<1,解得<m≤4,而|AB|=2,

所以S△OAB=|AB|·h=因?yàn)?/span>≤<1,

所以當(dāng)=,即m=時(shí),S△OAB取得最大值,

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是△OAB的面積的最大值是.