Question

【題目】一個圓內(nèi)有6000個點，其中任三點都不共線；①能否把這個圓分成2000塊，使每塊恰含有三個點，如何分？②若每塊中三點滿足：兩兩間的距離皆為整數(shù)且不超過9，則以每塊中的三點為頂點作三角形，這些三角形中大小完全一樣的三角形至少有多少個？

Answer 1

【答案】22

【解析】

①圓內(nèi)6000個點可確定條直線.因是個有限的數(shù)，所以一定存在著圓的一條切線，使它不平行于條直線中的任何一條，記這條切線為，將在圓上作平行移動，顯然6000個點將被逐個越過（如同時越過兩個點，則連結(jié)此兩點的直線必與平行，這與取法不合），于是，在越過3個點且未遇上第四個點時作圓的一條弦，同理，當(dāng)越過第4，5，6點時作弦，如此可作出1999條弦，將圓分成2000塊，每塊都含三個點，每這樣的三點連成一個三角形，共得到2000個三角形.

②可以求得：邊長均為整數(shù)，最長邊不超過9的三角形的個數(shù)為95，設(shè)三邊長為，均為整數(shù).

當(dāng)，且時，有

的取值	可取之值	三角形個數(shù)
5	5	1
6	4，5，6	3
7	3，4，5，6，7	5
8	2，3，4，5，…，8	7
9	2，3，4，5，…，9	9

即當(dāng)時，可得不同的三角形25個.

當(dāng)，且時，有

5	4，5	2
6	3，4，5，6	4
7	2，3，4，5，6，7	6
8	1，2，3，4，…，8	8

即當(dāng)時，可得不同的三角形20個，同理可得，當(dāng)，6，5，4，3，2，1時，不同的三角形的個數(shù)分別是16，12，9，6，4，2，1個.

故邊長均為整數(shù)，且最長邊不超過9的大小不同的三角形總數(shù)是

個.

2000個三角形中大小完全一樣的三角形至少應(yīng)有個.