Question

【題目】已知有窮數(shù)列共有項(xiàng)，且.

（1）若，，，試寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；

（2）若，，求證：數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是；

（3）若，則所有可能的取值共有多少個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）、、、、或、、、、；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）有窮數(shù)列共有項(xiàng)，且，，，，由此能寫(xiě)出滿足條件的數(shù)列；

（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，由題意得，，，，由此能推導(dǎo)出，由題意得，，，推導(dǎo)出，，，，由，推導(dǎo)出，，，從而數(shù)列是遞增數(shù)列，由此能證明數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件為；

（3）由題意得，，，，推導(dǎo)出的所有可能值與最大值的差必為偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數(shù)，由此能求出所有可能取值的個(gè)數(shù).

（1）有窮數(shù)列共有項(xiàng)，且，，，，

則滿足條件的數(shù)列有：、、、、或、、、、；

（2）①充分性：若數(shù)列為遞增數(shù)列，由題意得：，，，，全加得，；

②必要性：由題意，，，

，，，，

上述不等式全部相加得，，

，所以，不等式，，，均取等號(hào)，

所以，，，，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.

綜上所述，數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是；

（3）由題意得，，，，

假設(shè)，其中，

，

則，

則中有項(xiàng)、、、、取負(fù)值，

則有，（*），

的所有可能值與的差必為偶數(shù)，

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數(shù)，

由（*）知，還要從、、、、中任取一項(xiàng)或若干項(xiàng)相加，可以得到從到的所有整數(shù)值即可.

①當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②當(dāng)時(shí)，從、中任取一項(xiàng)或兩項(xiàng)相加，可以得到從、、中任取一項(xiàng)或若干項(xiàng)相加，可以得到從到的所有整數(shù)，結(jié)論成立；

③假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即從、、、、中任取一項(xiàng)或若干項(xiàng)相加，可以得到從到的所有整數(shù)值.

則當(dāng)時(shí)，由假設(shè)，從、、、、中任取一項(xiàng)或若干項(xiàng)相加，可以得到從到的所有整數(shù)值，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

用取代、、、、中的，可得，

將、、、、、全部相加，可得，故命題成立.

因此，所有可能的取值共有個(gè).