Question

已知函數(shù)，是大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時,求的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)證明：曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立.

Answer 1

（I）極大值，極小值.
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增時，或．
（Ⅲ）曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．

試題分析：（I）求極值一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值正負(fù)、計算極值”.
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，因此，其導(dǎo)函數(shù)為正數(shù)恒成立，據(jù)此建立的不等式求解.
應(yīng)注意結(jié)合的不同取值情況加以討論.
（Ⅲ）通過確定函數(shù)的極大值、極小值點,, 并確定的中點.
設(shè)是圖象任意一點,由，可得，
根據(jù)，可知點在曲線上，作出結(jié)論.
本題難度較大，關(guān)鍵是能否認(rèn)識到極大值、極小值點,的中點即為所求.
試題解析：（I），，
當(dāng)時，，
令得.
在分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，
于是，當(dāng)時，函數(shù)有極大值，時，有極小值.
------4分
（Ⅱ），若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，
則在上恒成立，
當(dāng)，即時，由得；
當(dāng)，即時，，無解；
當(dāng)，即時，由得．
綜上，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增時，或．    10分
（Ⅲ），，
令，得，
在區(qū)間，，上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)時，有極大值；
當(dāng)時，有極小值．
記,, 的中點,
設(shè)是圖象任意一點,由，得，
因為
，
由此可知點在曲線上，即滿足的點在曲線上．
所以曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．          14分