Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，又函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若不等式f(

x

2

-2x)+f(2y-

y

2

)≤0成立，則當(dāng)1≤x＜4時(shí)，

y

x

的取值范圍是（　�。�

• A、(-

  1

  2

  ，1]
• B、（-∞，1]
• C、[-

  1

  2

  ，1]
• D、[-

  1

  2

  ，∞)

Answer 1

分析：依題意知，y=f（x）為R上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，于是由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0⇒x²-2x≥y²-2y⇒（x-y）（x+y-2）≥0，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可求得當(dāng)1≤x＜4時(shí)，

y

x

的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x），對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，
∴y=f（x）為R上的減函數(shù)；
又函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
又f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，
∴x²-2x≥y²-2y，
（x-y）（x+y-2）≥0，
∴

x-y≥0 x-y-2≥0

或

x-y≤0 x-y-2≤0

，
令k=

y

x

=

y-0

x-0

，作出線性區(qū)域圖如下（兩直線x-y=0與x+y-2=0相交的左右區(qū)域）：

當(dāng)x=1時(shí)，y=1，直線x-y=0上的點(diǎn)M（1，1），此時(shí)k_max=k_OM=

1-0

1-0

=1，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2-4=-2，直線x+y-2=0上的點(diǎn)P（4，-2），此時(shí)k=

-2-0

4-0

=-

1

2

，
∵1≤x＜4，
∴-

1

2

＜k≤1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，突出考查線性規(guī)劃，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．