Question

（2013•唐山二模）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|ax-4|-|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）當a=2時，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=2時，f（x）=2（|x-2|-|x+4|），再對x的值進行分類討論轉(zhuǎn)化成一次不等式，由此求得不等式的解集．
（II）f（x）≤k恒成立，等價于k≥f（x） _max，由此求得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，
f（x）=2（|x-2|-|x+4|）=

12，x＜-4 -4x-4，-4≤x≤2 -12，x＞2

當x＜-4時，不等式不成立；
當-4≤x≤2時，由-4x-4＜2，得-

3

2

＜x≤2；
當x＞2時，不等式必成立．
綜上，不等式f（x）＜2的解集為{x|x＞-

3

2

}．…（6分）
（Ⅱ）因為f（x）=|ax-4|-|ax+8|≤|（ax-4）-（ax+8）|=12，
當且僅當ax≤-8時取等號．
所以f（x）的最大值為12．
故k的取值范圍是[12，+∞）．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．