Question

【題目】已知f（x）= ，x∈R．
（1）求證：對一切實數(shù)x，f（x）=f（1﹣x）恒為定值．
（2）計算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）= ，x∈R．

∴對一切實數(shù)x，

f（x）+f（1﹣x）= +

= = + =1，

∴對一切實數(shù)x，f（x）+f（1﹣x）恒為定值1

（2）解：∵f（x）+f（1﹣x）=1，

∴f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）

=[f（﹣6）+f（7）]+[f（﹣5）+f（6）]+[f（﹣4）+f（5）]+[f（﹣3）+f（4）]

+[f（﹣2）+f（3）]+[f（﹣1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]

=1+1+1+1+1+1+1=7

【解析】（1）由f（x）= ，x∈R．利用函數(shù)性質能推導出對一切實數(shù)x，f（x）+f（1﹣x）恒為定值1．（2）由f（x）+f（1﹣x）=1，能示出f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的值的相關知識，掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調性法．