Question

（2010•眉山一模）已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-x+1，（a＞0）．
（I）f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，證明你的結(jié)論．
（II）若f（x）在(

1

3

，+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數(shù)f′（x）=3ax²+2x-1，要使f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，即需要f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0，根據(jù)a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線，可證結(jié)論；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，求得x1=

-1- 1+3a

3a

，x2=

-1+ 1+3a

3a

(x1＜x2)，可知f（x）在（-∞，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)f（x）在(

1

3

，+∞)上單調(diào)遞增，可得x2≤

1

3

，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=3ax²+2x-1
f（x）在（2，+∞）上是否存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0
∵a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f′（x）＞0
∴f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，∴x1=

-1- 1+3a

3a

，x2=

-1+ 1+3a

3a

(x1＜x2)
∵a＞0，∴f（x）在x₁處取極大值，在x₂處取極小值，
∴f（x）在（-∞，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增
∵f（x）在(

1

3

，+∞)上單調(diào)遞增，∴x2≤

1

3

∴

-1+ 1+3a

3a

≤ 

1

3

∴

1+3a

≤a+1
∴a²-a≥0
∵a＞0，∴a≥1
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥1

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)的運用，確定函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式是解題的關鍵．