Question

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形，M、G分別是AB、DF的中點(diǎn)．

（1）求證：CM⊥平面FDM；
（2）在線段AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明；
（3）求直線DM與平面ABEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三視圖可得直觀圖為直三棱柱，欲證CM⊥平面FDM，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CM與平面FDM內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知FD⊥CM，以及根據(jù)勾股定理可知CM⊥DM，F(xiàn)D?平面FDM，DM?平面FDM，滿足定理所需條件；
（2）點(diǎn)P在A點(diǎn)處，取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA，根據(jù)中位線定理可知，GS∥FC，AS∥CM，從而面GSA∥面FMC，又GA?面GSA根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知GP∥平面FMC；
（3）在平面ADF上，過D作AF的垂線，垂足為H，連DM，根據(jù)線面所成角的定義可知∠DMH是DM與平面ABEF所成的角，然后在三角形DHM中求出此角即可．

解答：解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a
（1）顯然FD⊥平面ABCD，
又CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M為AB中點(diǎn)，DM=CM=

2

a，
∴CM⊥DM
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，
∴CM⊥平面FDM，（4分）
（2）點(diǎn)P在A點(diǎn)處，（5分）
證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點(diǎn)，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，
而GA?面GSA，∴GP∥平面FMC（9分）
（3）在平面ADF上，過D作AF的垂線．
垂足為H，連DM，
則DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM與平面ABEF所成的角（12分）
在Rt△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

∴∠DMH=

π

6

．
所以DM與平面ABEF所成的角為

π

6

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和直線與平面所成角的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．