Question

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DG=λDF（0＜λ≤1）．

（1）求證：對任意的λ∈（0，1），都有GN⊥AC；
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求證：AG∥平面FMC．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明FD⊥平面ABCD、AC⊥平面GDN，即可證明AC⊥GN；
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，G是DF的中點(diǎn)．取DC的中點(diǎn)S，連接AS，CS，證明平面AGS∥平面FMC，即可證明AG∥平面FMC．

解答：證明：（1）由題意知，該幾何體是一個(gè)三棱柱，且CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，DF=AD=DC=a，
如圖，連接BD，
∵N為AC與BD的交點(diǎn)，且AC⊥BD．
∴FD⊥平面ABCD，
∵G為FD上的點(diǎn)，∴GD⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴GD⊥AC，
∵BD∩GD=D，∴AC⊥平面GDN，
∵GN?平面GND，∴AC⊥GN．
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，G是DF的中點(diǎn)，
如圖，取DC的中點(diǎn)S，連接AS，CS，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AS∥MC，GS∥FG，
∵AS∩GS=S，F(xiàn)C∩CM=C，∴平面AGS∥平面FMC，
∵AG?平面AGS，∴AG∥平面FMC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．