Question

（2012•香洲區(qū)模擬）一個(gè)多面體的三視圖和直觀(guān)圖如下：
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求證：MN⊥AH；
（3）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明線(xiàn)面平行，可借助于線(xiàn)面平行的判定定理，連接BE，可知M為BE的中點(diǎn)，同時(shí)考慮到N為BC中點(diǎn)，連接CE后得到MN為三角形BEC的中位線(xiàn)，說(shuō)明MN平行于EC，然后運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定定理得證；
（2）證明MN⊥AH，可轉(zhuǎn)化為證明EC⊥AH，要證明AH⊥EC，可證明AH⊥面DCFE，因?yàn)锳H⊥DE，根據(jù)三棱柱為直三棱柱，說(shuō)明AH⊥EF，從而得到AH⊥面DCFE；
（3）根據(jù)（1）和（2）的證明，能夠說(shuō)明AH為四棱錐A-DCFE的高，AH易求，直接代入棱錐體積公式求體積．

解答：解：由三視圖知，該多面體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，側(cè)面ABCD和側(cè)面ABFE為邊長(zhǎng)為2的正方形．如圖，
（1）在正方形ABFE中，
連接BE，則BE與AF交于中點(diǎn)M，
連接EC，在△BEC中，M，N分別是BE，BC的中點(diǎn)，
故中位線(xiàn)MN∥EC，
而MN?面CDEF，EC?面CDEF
∴MN∥面CDEF．
（2）∵△ADE為等腰直角三角形，且H為斜邊DE的中點(diǎn)，
∴AH⊥DE  ①
又因?yàn)樵摱嗝骟w是直三棱柱，故側(cè)棱EF⊥面ADE，而AH?面ADE，
故AH⊥EF  ②
綜合①②，且DE∩EF=E，DE?面DCFE，EF?面DCFE，
∴AH⊥面DCFE，而EC?面DCFE
∴AH⊥EC，
由（1）可知，MN∥EC，
∴AH⊥MN
（3）由（2）可知AH⊥面DCFE，所以AH為四棱錐A-CDEF的高，且AH=

DE

2

=

2

，
∴VA-CDEF=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

×2×2

2

×

2

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖還原實(shí)物圖，考查了線(xiàn)面平行的判定及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)平行投影的理解，訓(xùn)練了分析和解決問(wèn)題的能力，此題屬中檔題．