【題目】設(shè)函數(shù),
.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,函數(shù)
恰有兩個零點
,證明:
【答案】(1) 當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),令
,
,分
,判斷出單調(diào)性;(2)采用綜合分析法證明, 由已知條件求出
,要證明
,即證
,即證
,令
,通過證明
,得出結(jié)論。
詳解: (Ⅰ).
∵,∴由
,得
,即
.
若,當(dāng)
變化時,
,
的變化情況如下表
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
若,當(dāng)
變化時,
,
的變化情況如下表:
+ | 0 | - | |
單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 |
綜上,當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)∵當(dāng)時,函數(shù)
恰有兩個零點
,
,
則,即
.
兩式相減,得
∵,∴
,∴
,∴
.
∴要證,即證
,即證
即證
令
,則即證
.
設(shè),即證
在
恒成立.
.
∵在
恒成立.∴
在
單調(diào)遞增.
∵在
是連續(xù)函數(shù),
∴當(dāng)時,
∴當(dāng)時,有
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初始溶液含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少.
(1)寫出雜質(zhì)含量y與過濾次數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(2)過濾7次后的雜質(zhì)含量是多少?過濾8次后的雜質(zhì)含量是多少?至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為慶祝黨的98歲生日,某高校組織了“歌頌祖國,緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽。從參加競賽的學(xué)生中,隨機抽取40名學(xué)生,將其成績分為六段,
,
,
,
,
,到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù);
(2)若從競賽成績在與
兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生,設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于
分為事件
,求事件
發(fā)生的概率.
(3)為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在
內(nèi)的為二等獎, 得分在
內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機抽取三名,設(shè)
為獲得三等獎的人數(shù),求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
,
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,若直線
與曲線
相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點
,
與原點
構(gòu)成
,且滿足
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)是
上的減函數(shù),
,且
.
(1)求;
(2)若在
上單調(diào)遞減,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)時,
有最大值1,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的值域為
,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高科技公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品,生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的每天固定成木為30000元,每生產(chǎn)x件,需另投入成本為t元, ,每件產(chǎn)品售價為10000元.(該新產(chǎn)品在市場上供不應(yīng)求可全部賣完.)
(1)寫出每天利潤y關(guān)于每天產(chǎn)量x的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)每天產(chǎn)量為多少件時,該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大.
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