Question

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＞x+1的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C.（﹣1，1）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1， ∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，
∴g（x）=f（x）﹣x﹣1為減函數(shù)，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，
∴不等式f（x）＞x+1的解集g（x）=f（x）﹣x﹣1＞0=g（1）的解集，
即g（x）＞g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1為減函數(shù)，
∴x＜1，即x∈（﹣∞，1）．
故選：D．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．