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        1. 【題目】已知函數(shù).

          若曲線處的切線斜率為0,求a的值;

          (Ⅱ)若恒成立,求a的取值范圍;

          (Ⅲ)求證:當時,曲線 (x>0)總在曲線的上方.

          【答案】(I). (II).(III)見解析.

          【解析】試題分析:(Ⅰ)利用導函數(shù)在x=0處的值等于零,可以求出a的值.

          (Ⅱ).,,三種情況討論求的最小值即可;

          (Ⅲ)時,構(gòu)造,證明

          試題解析:(I)函數(shù)的定義域為.

          因為,所以.

          .

          (II).

          時,令.

          時,;時,.

          上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

          所以當時,有最小值.

          恒成立”等價于“最小值大于等于0”,即.

          因為,所以.

          時,符合題意;

          時,取,則,不符合題意.

          綜上,若恒成立,則的取值范圍為.

          (III)時,令,可求.

          因為,且上單調(diào)遞增,

          所以在(0,)上存在唯一的,使得,即,且

          .

          變化時,在(0,)上的情況如下:

          0

          極小

          則當時,存在最小值,.

          因為,所以.

          所以當時,

          所以當時,曲線總在曲線的上方.

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